1. Системы счисления
2. Простые системы группировки
3. Греческие цифры
4. Зашифрованные системы счисления
5. Разработка современных номеров и систем счисления

Когда возникла необходимость часто считать числа больше 10 или около того, нумерация должна была быть систематизирована и упрощена; это обычно делалось с помощью группового подразделения или база Так же, как можно было бы сделать сегодня, считая 43 яйца как три дюжины и семь. Фактически, самыми ранними цифрами, из которых есть определенная запись, были простые прямые отметки для небольших чисел с некоторой специальной формой для 10. Эти символы появились в Египет уже в 3400 г. до н.э. и в Месопотамия еще в 3000 г. до н.э., задолго до первых известных надписей, содержащих цифры в Китай ( ок. 1600 г. до н.э.), Крит ( ок. 1200 г. до н.э.) и Индия ( ок. 300 г. до н.э.). Некоторые древние символы для 1 и 10 приведены на рисунке.

Разумеется, особая позиция, занимаемая 10, связана с количеством человеческих пальцев, и это все еще очевидно в современном использовании, а не только в логической структуре десятичная система счисления но в английских названиях для цифр. Таким образом, одиннадцать происходит от древнеанглийского endleofan , что буквально означает «[десять и] один остался [над]», и двенадцать от двенадцатого , что означает «два слева»; окончания -teen и -ty оба относятся к десяти, и сто происходит от предгреческого термина, означающего «десять раз [десять]».

Получите неограниченный доступ ко всему доверенному контенту Britannica. Начните бесплатную пробную версию сегодня

Однако не следует делать вывод, что 10 является либо единственно возможной базой, либо фактически используемой. Парная система, в которой подсчет идет «один, два, два и один, два двое, два, два и один» и т. Д., Встречается среди этнологически старейших племен Австралия , во многих Папуасские языки из Торресов пролив и примыкающий побережье Новая Гвинея среди некоторых африканских пигмеи и в различных южноамериканец племена. Коренные народы Огненная Земля и южноамериканский континент использует системы счисления с основами три и четыре. Кинарная шкала, или система счисления с основанием пять, очень старая, но в чистом виде она, кажется, в настоящее время используется только носителями саравека, южноамериканского араваканского языка; в другом месте это в сочетании с десятичной или Vigesimal система где база равна 20. Точно так же шкала чистого основания шесть, по-видимому, встречается редко в северо-западной Африке и в остальном сочетается с двенадцатеричной, или системой основания 12, системой.

В ходе истории десятичная система окончательно затмила все остальные. Тем не менее, все еще есть много остатков других систем, главным образом в коммерческих и бытовых единицах, где изменения всегда встречают сопротивление традиции. Таким образом, 12 встречается как число дюймов в футе, месяцев в году, унций в фунте ( Трой вес или же вес аптекарей ), и дважды по 12 часов в день, и двенадцать, и дюжина, и грубая мера. В английском языке основание 20 встречается главным образом в партитуре («Четыре балла и семь лет назад…»); на французском языке это выживает в слове Quatre-vingts («Четыре двадцатых») за 80; другие следы найдены в древнем кельтском, гэльском, датском и валлийском языках. Основание 60 все еще происходит при измерении времени и углов.

Системы счисления

Похоже, что примитивные цифры были |, ||, ||| и т. Д., Как найдено в Египте и Греческие земли или -, =, ≡ и т. д., как указано в ранних записях в Восточная Азия каждый идет настолько, насколько требовались простые люди. По мере того как жизнь усложнялась, потребность в номерах групп становилась очевидной, и это был лишь небольшой шаг от простой системы с именами только для одного и десяти к дальнейшему присвоению имен другим специальным номерам. Иногда это происходило очень бессистемно; например, юкагиры из Сибири насчитывали: «один, два, три, три и один, пять, два по три, два по три и один, два четверка, десять с одним пропавшим без вести, десять». Обычно, однако, получалась более регулярная система, и большинство из них Системы могут быть классифицированы, по крайней мере, приблизительно, в соответствии с логическими принципами, лежащими в их основе.

Простые системы группировки

В чистом виде простая система группировки - это присвоение специальных имен маленьким числам, основанию b и его степеням b 2, b 3 и т. Д., Вплоть до степени b k, достаточно большой, чтобы представлять все фактически требуемые числа. в использовании. Промежуточные числа затем формируются сложением, каждое условное обозначение повторяется требуемое количество раз, так же как 23 написано XXIII в римские цифры ,

Самым ранним примером такого рода системы является схема, встречающаяся в иероглифы , который египтяне использовали для письма на камне. (Две более поздние египетские системы, иератическая и демотическая, которые использовались для письма на глине или папирусе, будут рассмотрены ниже; они не являются простыми системами группировки.) Число 258 458, написанное иероглифами, показано на рисунке. Числа такого размера на самом деле встречаются в сохранившийся записи о королевских владениях и, возможно, были обычным явлением в логистика и инженерия великих пирамид.

Древние египтяне обычно писали справа налево. Поскольку у них не было позиционной системы, им требовались отдельные символы для каждой степени 10. Encyclopædia Britannica, Inc.

Вокруг Вавилон Глина была в изобилии, и люди наносили свои символы на влажные глиняные таблички, прежде чем высушить их на солнце или в печи, образуя документы, которые были практически такими же постоянными, как камень. Поскольку нажим стилуса давал клинообразный символ, надписи известны как клинообразные, от латинского cuneus («клин») и forma («форма»). Символы могут быть выполнены либо с заостренным, либо с круглым концом (следовательно, криволинейной надписью) стилуса, и для чисел до 60 эти символы использовались так же, как иероглифы, за исключением того, что также использовался вычитающий символ. На рисунке показано число 258 458 в клинописи.

Число 258 458, выраженное в половозрелой (основание 60) системе вавилонян и в клинописи. Encyclopædia Britannica, Inc.

Клинообразная и криволинейная цифры встречаются вместе в некоторых документах примерно с 3000 г. до н.э. Кажется, были некоторые соглашения относительно их использования: клинопись всегда использовалась для числа года или возраста животного, в то время как уже выплаченная заработная плата была написана в криволинейной, а заработная плата в клинописной форме. Для чисел больше 60 вавилоняне использовали смешанную систему, описанную ниже.

Греческие цифры

греки имел две важные системы цифр, кроме примитивного плана повторения одиночных штрихов, как в ||| ||| для шести, и один из них снова был простой системой группировки. Их предшественники в культуре - вавилоняне, египтяне и финикийцы - обычно повторяли единицы до 9, со специальным символом для 10 и так далее. Ранние греки также повторяли единицы до 9 и, вероятно, имели различные символы для 10. В Крит Там, где ранняя цивилизация находилась под сильным влиянием Финикии и Египта, символом 10 было - круг был использован для 100, а ромб - для 1000. Кипр также использовал перекладина для 10, но точные формы имеют меньшее значение, чем тот факт, что группирование по десяткам со специальными символами для определенных степеней 10 было характерно для ранних систем счисления Средняя Азия ,

Греки, которые вышли на поле намного позже и находились под влиянием финикийцев в их алфавите, основывали свою первую сложную систему главным образом на начальных буквах цифровых имен. Это было естественным для всех ранних цивилизаций, так как обычай выписывать имена для больших чисел был вначале довольно общим, и использование инициала в виде сокращения слова универсально. Греческая система аббревиатур, известная сегодня как чердачные номера, появилась в записях 5-го века до нашей эры, но, вероятно, использовалась гораздо раньше.

Прямое влияние Рим в течение такого длительного периода превосходство его системы счисления над любой другой простой, известной в Европа примерно до 10-го века, и непреодолимая сила традиции объясняет сильную позицию, которую система поддерживала в течение почти 2000 лет в торговле, в научной и богословской литературе и в Belle Lettres , Он имел большое преимущество в том, что для массы пользователей было необходимо запомнить значения только четырех букв - V, X, L и C. Более того, было легче увидеть три в III, чем в 3, и увидеть девять в VIIII, чем в 9, и, соответственно, было проще добавить числа - самый основной арифметика операция.

Как и во всех подобных вопросах, происхождение этих числительных неясно, хотя изменения в их формах с 3-го века до нашей эры хорошо известны. Теория немецкого историка Теодор Моммсен (1850) получил широкое признание. Он утверждал, что V для пяти представляет открытую руку. Два из них дали X за 10, а L, C и M были модификациями греческих букв. Однако изучение надписей, оставленных этрусками, которые правили Италией до римлян, показывает, что римляне приняли этрусскую систему счисления, начиная с 5-го века до н.э., но с той разницей, что этруски читали свои числа справа налево, в то время как римляне читать их слева направо. L и D для 50 и 500, соответственно, появились в позднеримской республике, а M не значило 1000 до средневековья.

Самая старая заслуживающая внимания надпись с цифрами, представляющими очень большие цифры, находится на Колумна Рострата Памятник установлен в Римский Форум в почтить память победа в 260 г. до н.э. Карфаген в течение Первая Пуническая война , В этом столбце символ для 100 000, который был ранней формой (((I))), был повторен 23 раза, составив 2 300 000. Это иллюстрирует не только раннеримское использование повторяющихся символов, но и обычай, который распространился на современность - использование (I) для 1000, ((I)) для 10000, (((I))) для 100000 и ( (((I)))) за 1 000 000. Символ (I) для 1000 часто появляется в различных других формах, включая курсив ∞. Ближе к концу Римской республики над числом был помещен столбик (известный как винкулум или виргул ), чтобы умножить его на 1000. Этот бар также стал представлять порядковые номера. В ранней Римской империи бары, заключающие число вокруг вершины и сторон, стали означать умножение на 100 000. Использование одного бара сверху продолжалось в Средний возраст , но три бара не сделали.

Из более позднего использования чисел, некоторые из специальных типов следующие:

1. II.DCCC.XIIII для 2814, Иордан Неморарий ( ок. 1125)

2. M⫏CLVI за 1656, в Сан-Марко, Венеция

3. IIIIxx et huit for 88, Парижский договор 1388 года

4. четыре Клима за 451 000, Хамфри Бейкер " Колодец науки", который учит совершенному труду и практике арифметики (1568)

Пункт (1) представляет использование винкулюма ; (2) представляет значение места, как оно иногда появляется в римских цифрах (D представляет 500); (3) иллюстрирует нередкое использование ⫏, подобно D, первоначально половина (I), символа для 1000; (4) иллюстрирует постоянство старой римской формы для 1000 и 500 и вычитающий принцип, так редко используемый римлянами для числа, подобного 99; (5) показывает использование Quatre-vingts для 80, которые обычно встречаются во французских рукописях до 17-го века, а иногда и позже, цифры часто пишутся как iiijxx, vijxx и т. д .; и (6) представляет метод коэффициентов, «четыре C», означающий 400, метод, часто приводящий к формам, таким как ijM или IIM для 2000, как показано в (7).

Субтрактивный принцип проявляется в именах еврейских чисел, а также в случайном использовании IV для 4 и IX для 9 в римских надписях. Римляне также использовали « un de viginti» («один из двадцати») для 19 и « duo de viginti» («два из двадцати») для 18, иногда записывая эти числа как XIX (или IXX) и IIXX соответственно. В целом, однако, вычитающий принцип мало использовался в цифрах классического периода.

В мультипликативных системах специальные имена даются не только 1, b , b 2 и т. Д., Но также и числам 2, 3,…, b - 1; символы этой второй задавать затем используются вместо повторений первого набора. Таким образом, если 1, 2, 3,…, 9 обозначены обычным образом, а 10, 100 и 1000 заменены на X, C и M соответственно, то в мультипликативной системе группировки следует записать 7,392 как 7M3C9X2. Основным примером такого рода обозначений является китайский язык система счисления три варианта которых показаны на рисунке. Современные национальные и коммерческие системы являются позиционными системами, как описано ниже, и используют круг для нуля.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Зашифрованные системы счисления

В зашифрованных системах имена даются не только 1 и степеням основания b, но также и кратным этим степеням. Таким образом, начиная с искусственного примера, приведенного выше для мультипликативной системы группировки, можно получить зашифрованную систему, если несвязанные имена даны числам 1, 2,…, 9; X, 2X, ..., 9X; С, 2С,…, 9С; М, 2М,…, 9М. Это требует запоминания множества различных символов, но в результате получается очень компактная запись.

Первой зашифрованной системой, похоже, была египетская иератический (буквально «священнические») цифры, так называемые, потому что священники, по-видимому, были теми, у кого было время и знания, необходимые для разработки этого краткого роста более ранних иероглифических числительных. Египетская арифметическая работа по папирусу с использованием иератических чисел была найдена в Египте около 1855 года; известный после имени своего покупателя как Папирус задний , это обеспечивает главный источник информации об этой системе счисления. Существовала еще более поздняя египетская система, демотическая, которая была также зашифрованной системой.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Еще в 3 веке до нашей эры в Греции начала использоваться вторая система чисел, параллельная аттическим числам, которая была лучше адаптирована к теории чисел, хотя торговым классам было труднее ее понять. Эти ионные, или алфавитные, цифры были просто система шифрования в котором девять греческих букв были присвоены числам 1–9, еще девять - числам 10,…, 90 и еще девять - 100,…, 900. Тысячи часто указывались путем размещения столбца слева от соответствующего числа ,

Такие числовые формы не были особенно трудными для вычислительных целей, как только оператор был в состоянии автоматически вспомнить значение каждого. В этой древней системе счисления использовались только заглавные буквы, а строчные буквы - относительно современное изобретение.

Другие зашифрованные системы счисления включают коптский, индуистский брамин, иврит Сирийский и ранний арабский. Последние три, как и Ионные, являются алфавитно-зашифрованными системами счисления. Еврейская система показана на фигура

десятичная система счисления пример позиционной системы, в которой после принятия базы b цифрам 1, 2,…, b - 1 присваиваются специальные имена, а все большие числа записываются как последовательности этих цифр. Это единственная из систем, которая может использоваться для описания больших чисел, поскольку каждый из других видов дает специальные имена различным числам, большим чем b , и бесконечный количество имен будет необходимо для всех чисел. Успех позиционной системы зависит от того факта, что для произвольного основания b каждое число N может быть записано уникальным образом в форме, где a n , a n - 1,…, a 0 - цифры; то есть числа из группы 0, 1,…, b - 1. Тогда N к базе b можно представить последовательностью символов a n a n - 1… a 1 a 0. Именно этот принцип был использован в мультипликативные системы группировки и связь между двумя типами систем сразу же видно из ранее отмеченной эквивалентности между 7 392 и 7M3C9X2; позиционная система выводится из мультипликатива просто путем пропуска названий степеней b , b 2 и т. д. и в зависимости от положения цифр для предоставления этой информации. Однако тогда необходимо использовать какой-либо символ для нуля, чтобы указать любые отсутствующие полномочия базы; в противном случае 792 может означать, например, 7M9X2 (то есть 7,092) или 7C9X2 (792).

вавилоняне разработал ( ок. 3000–2000 гг. до н.э.) позиционную систему с основанием 60 - половозрелую систему. При таком большом основании было бы неудобно иметь несвязанные имена для цифр 0, 1,…, 59, поэтому для этих чисел использовалась простая система группировки по основанию 10, как показано на рисунке.

Помимо того, что вавилонская система была несколько громоздкой из-за большой выбранной базы, она очень поздно страдала от отсутствия символа нуля; результирующий неоднозначность возможно, беспокоили вавилонян так же, как и более поздние переводчики.

В ходе ранних испанских экспедиций на Юкатан было обнаружено, что майя в раннем, но все еще не датированном времени имелась хорошо развитая позиционная система, полная с нуля. Кажется, он использовался в основном для календаря, а не для коммерческих или других вычислений; это отражается в том факте, что, хотя основание равно 20, третья цифра от конца означает кратные не 202, а 18 × 20, что дает их году простое число дней. Цифры 0, 1,…, 19, как и в вавилонском, образованы простой системой группировки, в данном случае основанием 5; группы были написаны вертикально.

Система счисления майя, которая является основой 20 с простой группировкой к базе 5. Encyclopædia Britannica, Inc.

Ни майя, ни вавилонская система не подходили идеально для арифметических вычислений, потому что цифры - числа меньше 20 или 60 - не были представлены единичными символами. Полное развитие этой идеи должно быть приписано индусам, которые также были первыми, кто использовал ноль современным способом. Как было упомянуто ранее, в позиционных системах счисления требуется некоторый символ, чтобы отметить место мощности базы, которая на самом деле не встречается. Индусы указывали на это точкой или маленьким кружочком, которому было дано название санскрит слово «вакантный». Это было переведено на арабский язык около 800 г. с сохранением значения, а последнее было транслитерировано на латынь около 1200 г., звук сохранился, но значение проигнорировано. Последующие изменения привели к современному шифрованию и нулю .

Символ нуля появился в вавилонской системе около 3-го века до нашей эры. Тем не менее, он не использовался последовательно и, по-видимому, служил для хранения только внутренних мест, а не конечных мест, так что было невозможно провести различие между 77 и 7700, за исключением контекст ,

Разработка современных номеров и систем счисления

Несколько разных утверждений, каждое из которых имеет определенное обоснование, были сделаны в отношении происхождения современных западных цифр, обычно называемых арабский но желательно как индус-арабский. К ним относится утверждение, что происхождение можно найти среди арабов, персов, египтян и индусов. Не исключено, что общение между торговцами служило для переноса таких символов из страны в страну, так что современные западные цифры могут быть конгломератом из разных источников. Однако, насколько известно, страна, которая впервые использовала наибольшее количество этих числовых форм, Индия , 1, 4 и 6 находятся в Ашока надписи (3 век до н.э.); 2, 4, 6, 7 и 9 появляются в надписях Нана Гат около века спустя; и 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 9 в пещерах Насик 1-го или 2-го века до н.э. - все в формах, которые имеют значительное сходство с сегодняшним днем, 2 и 3 - общепризнанные скорописные отрывки из древних = и ≡. Ни одна из этих ранних индийских надписей не свидетельствует о стоимости места или нуля, который сделал бы возможной современную стоимость места. Индуистская литература свидетельствует о том, что ноль, возможно, был известен раньше, но нет надписи с таким символом до 9-го века.

Первая определенная внешняя ссылка на индуистские цифры - это записка Северуса Себохта, епископа, жившего в Месопотамии около 650 года. Поскольку он говорит о «девяти знаках», ноль, по-видимому, ему неизвестен. Однако к концу 8-го века некоторые астрономические таблицы Индии были переведены на арабский язык в Багдад и в любом случае цифра стала известна арабским ученым примерно в это же время. Около 825 математик аль-Хорезми написал небольшую книгу по этому вопросу, и это было переведено на латынь Адельард Бат ( c. 1120) под названием Liber algorismi de Numberro Indorum . Самая ранняя европейская рукопись, которая, как известно, содержала индуистские цифры, была написана на Испания в 976 г.

Преимущества, которыми обладает усовершенствованная система позиционирования, настолько многочисленны и манифест что Индуистско-арабские цифры и база 10 была принята почти везде. Можно сказать, что это ближайший подход к универсальный человеческий язык еще разработано; они встречаются в китайских, японских и русских научных журналах и на всех западных языках. (Однако, смотрите таблицу для некоторых других современных систем счисления.)

Сравнение выбранных современных систем цифр индуистско-арабский 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 арабский ٠ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٨ ٩ ٠ van деванагари (хинди) १ २ ३ ४ ६ ७ ८ ० ० ० ९ ༢ ༢ ༤ ib ९ ༢ ༣ ༤ ༠ ༦ ༧ ༨ ༩ ༠ бенгальский ০ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৮ ৯ ০ ০ тайский ๑ ๒ ๓ ๔ ๕ ๖ ০ ๘ ๙ ๐

Однако есть один остров, на котором знакомая десятичная система больше не является высшей: электронная компьютер , Здесь было обнаружено, что двоичная позиционная система имеет большие преимущества перед десятичной. В двоичной системе, в которой основание равно 2, есть только две цифры: 0 и 1; число два должно быть представлено здесь как 10, так как оно играет ту же роль, что и десять в десятичной системе. Первые несколько двоичных чисел отображаются в таблице.

Десятичные цифры, представленные двоичными числами Десятичное двоичное преобразование 0 0 0 (20) 1 1 1 (20) 2 10 1 (21) + 0 (20) 3 11 1 (21) + 1 (20) 4 100 1 (22) + 0 (21) + 0 (20) 5 101 1 (22) + 0 (21) + 1 (20) 6 110 1 (22) + 1 (21) + 0 (20) 7 111 1 (22) + 1 ( 21) + 1 (20) 8 1000 1 (23) + 0 (22) + 0 (21) + 0 (20) 9 1001 1 (23) + 0 (22) + 0 (21) + 1 (20) 10 1010 1 (23) + 0 (22) + 1 (21) + 0 (20)

Двоичное число обычно намного длиннее соответствующего ему десятичного числа; например, 256,058 имеет двоичное представление 111 11010 00001 11010. Причина большей длины двоичного числа состоит в том, что двоичная цифра различает только две возможности, 0 или 1, тогда как десятичная цифра различает 10 возможностей; другими словами, двоичная цифра несет меньше информации, чем десятичная цифра. Из-за этого его название было сокращено до немного ; таким образом, часть информации передается всякий раз, когда один из двух альтернативы реализовано в машине. Конечно, гораздо легче построить машину, чтобы различать две возможности, чем среди 10, и это еще одно преимущество для базы 2; но более важным моментом является то, что биты служат одновременно для переноса числовой информации и логика проблемы. Это дихотомии значения yes и no, а также true и false сохраняются в машине так же, как 1 и 0, поэтому в итоге все сводится к последовательности этих двух символов.